分数的巧算,是计算的技巧,更是数学的逻辑和数学思维的精髓……

浏览:732   发布时间: 08月16日

分数的巧算,是计算的技巧,更是数学的逻辑和数学思维的精髓。中国奥林匹克数学国家代表队的成员们,金牌拿到手软,为什么若干年后,无论是在学术界,还是在商为应用领域,与金牌比起来,可以说是毫无建树!所以,数学的巧,最重要的是最后转换成数学的逻辑和思维

分数的加减法,常用的方法是通分,利用分数的基本性质,通过求出各个分母的的最小公倍数,把所有分数通分成同分母后,再将分子相加减后约分。

分数加减法运算,经常会以“速算与巧算”的方式出现在试卷中,让很多同学不知从何下手:因为这些题根本无法用通分的方式来计算,那样的计算量实在太大太大!

分数的加减法,虽然只是五年级数学的内容,却是六年级数学“分数的乘除”的基础,同时也是小升初考试的重点和难点,因为它的变化多样,很多名校招生和分班考都会经常出现。

关于分数的速算与巧算,最简单的就是分母相同,然后结合分数整数的计算方法和技巧即可。但是,今天我们要讨论的重点,是那些分母不相同,却又有规律可循的巧算题。这种类型的分数加减法,如果靠通分来解的话,再勤奋的人都会知难而退。

任何分数加减法巧算问题,都离不开分母的两种特殊规律:一是分母呈倍数递增的连加;二是分母可以分解成不同因数的乘积,且前后两个分母的因数是首尾相连的。怎么利用分母的规律,来巧算分数的加减法问题呢?

从简单的同分母分数的加减法巧算开始入手,只要进入到数学逻辑的“快车道”,一切难题都能迎刃而解……至于分子的规律,几乎可以忽略不计!因为它要么是根据分母规律的变化而变化,要么就是通过“凑数”的方式来迎合分母的规律。

01同分母分数的加减

同分母分数的加减,无非就是在整数的巧数基础之上,再进行二次转化的问题。根据分数与除法的关系,实际上就是多算一步除法而已。

从1/100一直加到99/100:

第一步,把问题看作是从1一直加到99;如果这样连续加两次的话,就是99个100。一次的话就是99/2个100;

第二步:除以100后,就是99/2;所以,答案是49又1/2。

分母从2到50,所有真分数的和,从同分母分数和中,很容易就能找到规律:

分母为2:1/2

分母为3:1

分母为4:1+1/2

分母为5:2

发现其中的规律了吗?把分母为奇数和偶数的分数和分开来的话,假设分母为奇数的规律是:3、5、7、9、11……分别对应的分数和是1、2、3、4、5……

通过分母为7和9的分数来验证一下这个规律的有效性:

分母为7时,分子的和为:1+2+3+4+5+6=3 x 7;

分母为9时,分子的和为:1+2+3+4+5+6+7+8=4 x 9;

依此类推,分母为奇数n时,所有的分子分别是从1到n-1,把n-1分成两组,两两都能组合成等于分母的和;

类似地,当分母为偶数m(刚才是n,现在双是m;如果用字母的方式替代,孩子不太理解时,可以直接忽略字母)真分数的分子分别是从1到m-1的整数(当分子等于分母时,它就不再是真分数,从题目中的规律可以看出),因为m是偶数,所以m-1就一定是奇数;当奇数个连续的整数分成两组,使组合的和等于分母后,就必定会多出一个数来,而这个数刚好是分母的一半,约分后就是1/2。

说得有点绕!从规律中总结,孩子更容易理解!

1/6+2/6+3/6+4/6+5/6=

分子等于(1+5)+(2+4)+3,括号里的组合与分母约分后等于1,3刚好是6的一半,所以分母为6的所有真分数的和为2又1/2。

分母为8的所有真分数的和,等于3又1/2!如果有两4/8,它就等于4,刚好是分母的一半,减去1/2就是3又1/2了。

通过这个看似繁琐的解析过程,不用给孩子一个似懂非懂的公式,只看规律,孩子独立思考后,也不难总结出以下算式来:

因为分母为49时,所有真分数的和是(49-1)/2=24。所以,从3开始,分母为奇数的所有真分数和为1+2+3+……+24。

分母为偶数的所有真分数和,把它为成整数部分加1/2看:从4开始,整数部分的和与分母为奇数的的和一样:1+2+3+……+24;分数部分都是1/2,从第一个1/2到最后的24又1/2,总共有25个1/2。

如果孩子对于“代数”的理解能够接受的话,进一步精练地总结一下,这个题型如果分母以偶数结束的话,求和公式也就出来了!

(1+2+3+……+n/2) x 2+n/2 (n为偶数且为最大的分母)

关于整数的连加问题,用数形结合的方法,也可以把它看成是图形求面积的问题。把1看作是边长为1的正方形,以1加到10为例:方法,大三角形边长为10的等边直角三角形,另加10个边长为1的等边直角三角形。计算公式为:(10X10)/2+10/2;方法二:两个同样的图形,其中一个旋转后平移,刚好可以组成一个长方形,这个长方形的宽不变,但长加了1;计算公式为:(10x11)/2。

通过下面这个动图,把复杂的算术问题,一下子转换成了直观的长方形面积问题。是不是简单多了?

02一半的一半

所谓一半的一半,无非就是分母始终呈倍数变化而已!通过数形结合的方法,理解了这个问题的特点后,就能解决很多看似复杂的所有相关问题。

简便计算与奥数之间距离有多远?我说只是一小步,你肯定不会相信;那就让事实说话吧!

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